用闭区间套定理证明零点定理

1. 用闭区间套定理证明零点定理

不妨设f(a)<0<f(b)。记c＝(a+b)/2，若f(c)＝0，结论成立。
若f(c)>0，则记[a1,b1]=[a,c]；若f(c)<0，则记[a1，b1]=[c,b]。
再记c1=(a1+b1)/2，若f(c1)＝0，结论成立；
若f(c1)>0，则记[a2,b2]=[a1,c1]；若f(c1)<0，则记[a2,b2]=[c1,b1]。
继续下去，或者到某一步有f(ck)=f[(ak+bk)/2]=0，此时结论成立。
或者此过程可无限做下去，因此得到一区间套序列{[an,bn]}，满足：
(1)，[a1,b1]包含[a2,b2]包含[a3,b3]包含...，
(2)，bn－an=(b－a)/2^n趋于0，当n趋于无穷；
(3)，f(an)<0<f(bn)，n＝1，2，3，...。
由闭区间套定理，存在c位于所有的区间，即an<=c<=bn，对n都成立，
且an和bn都趋于c。由f(x)在c的连续性有
f(c)＝lim f(an)<=0，
f(c)＝lim f(bn)>=0，
因此f(c)＝0。显然由于f(a)<0<f(b)知道c不是a，b。因此a<c<b。
证毕。

2. 如何证明闭区间套定理

设数列{xn}，其中xn∈[an,bn]
0<=bn-xn<=bn-an
因为lim0=0
且lim(bn-an)=lim(b-a)/2^n=0
所以根据数列极限的夹逼性，lim(bn-xn)=0
即limxn=limbn
同理，0<=xn-an<=bn-an
因为lim0=lim(bn-an)=0
所以lim(xn-an)=0
即limxn=liman
因为an<=xn<=bn，且{an}是递增数列，{bn}是递减数列
所以an<=liman=limxn=limbn<=bn
所以存在X=limxn∈[an,bn]，使对于任意的n，有X=liman=limbn

3. 什么是区间套定理？怎么证明？

第七章   实数的完备性
设{{an,bn}}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[an,bn]，n = 1,2...,即
                                        an≤ξ≤bn，n = 1,2,....
(具体证明由于有些符号打不出来,从略)
可以在网上查找相关的资料,或者去借一本《数据结构》的书，自己翻阅着看下

4. 什么是区间套定理？怎么证明？

什么是闭区间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。
闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理）

5. 证明闭区间套定理

6. 怎样用闭区间套定理证明有限覆盖定理?

所谓有限覆盖定理，是指：对于有界闭区间[a，b]的一个（无限）开覆盖H中，总能选出有限个开区间来覆盖[a，b]。
这一问题可用区间套定理来证明。（区间套定理：若[an,bn]是一个区间套，则在实数系中存在唯一一点C，使对任何n都有c属于[an,bn].{an}单调递增，{bn}单调递减，都以c为极限。）

证明：用反证法  假定不能用H中有限个开区间来覆盖[a,b].
将[a,b]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a1,b1],则[a1,b1]包含于[a,b],且b1-a1=(b-a)/2.
再将[a1,b1]等分为两个子区间，同样，其中至少有一个不能用H中有限个开区间覆盖。记这个子区间为[a2,b2],则[a2,b2]包含于[a1,b1],且b2-a2=(b-a)/2^2.
重复以上步骤并不断进行下去，则可得到区间列{[an,bn]},它满足区间套条件，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。
但，由区间套定理，存在唯一点c属于所有区间[an,bn].由于H是[a,b]的开覆盖，一定存在H中的一个开区间(a0,b0),使c属于(a0,b0).即a0N时,a0<an<=c<=bn<b0.这表明，只用开区间(a0,b0)就覆盖了区间[an,bn].
这与挑选[an,bn]时假设“[an,bn]不能用H中有限个开区间覆盖”矛盾。从而证得，必存在H中有有限个开区间能覆盖[a,b].

7. 如何用区间套定理证明确界原理？？？要具体步骤，谢谢了！！！

区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以。就说一下有上界数集如何证有上确界，下界类似。
分两步，第一步套出一个数，第二步证明这个数就是上确界。

①对于数集X，如果它有上界M，就构造闭区间列U[n]，U[1]=[a[1],M]，a[1]是任意一个数，只要使得U[1]∩X≠∅就可以。U[2]这样构造，如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数，就令U[2]=[(a[1]+M)/2,M]否则等于[a[1],(a[1]+M)/2]。U[3]构造类似，就是再把U[2]一分为二，右半边如果有X中的数就等于右半区间，否则等于左半区间。就这样一直构造下去，所有的U[n]都是递减区间列，根据闭区间套定理，它们必有一个公共元素m。
②要证m就是X的上确界。下面分类讨论。
1)先说如果m就是集合X中的元素，那么假设X中还有比m大的m'，上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的，和m是公共元素矛盾了。这个比较好证明，就不写具体过程了。这样m在X中，而且X中还没有比m更大的数，显然m是X中的最大数，自然是上确界（根据上确界定义可知）。
2)m不在X中。先证明m任意小邻域里面有X中的数。还是反证法，假设可以找到一个δ>0，使得[m-δ,m+δ]里面没有X中的数，那由于区间U[n]长度可以任意小，只要n足够大。所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ，但所有U都包含m，于是U[j]包含于[m-δ,m+δ]中，但是[m-δ,m+δ]中没有X中元素，意思是U[j]里面就没有X中元素，和一开始约定的U[n]构造规则矛盾，所以m任意邻域都有X中数。再证X中的数不可能比m大。还是反证法，和1)完全类似，就不写了。
根据上确界的定义，m是X的上确界，就找到了。

8. 用闭区间套定理证明下面的定理

令g(x)=f(x)-x，由题意知g(x)连续
g(a)=f(a)-a0
∴g(a)g(b)<0
∴根据零点定理可以知道存在ξ∈(a,b),使得g(ξ)=0,即 f(ξ)-ξ =0，得证。

零点定理：
设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0,则存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ